Comparación de proporciones.

Se revisan los métodos de comparación de proporciones: ji-cuadrado, prueba excata de Fisher y aproximación a una normal.

Esta expresión tiene su origen en la manía que les entró a los romanos por hacer carreteras entre la capital del Imperio y las provincias más alejadas. Había un momento en que cualquier camino que tomases te llevaba a Roma, de ahí el dicho.

En la actualidad los caminos te pueden llevar a cualquier parte, pero la frase se conserva para usarla cuando queremos decir que hay varias maneras de conseguir un mismo fin. Por ejemplo, cuando queremos saber si hay dependencia entre dos variables y si su diferencia es estadísticamente significativa. Siempre hay varios caminos para llegar a nuestra ansiada p.

Un poco de historia

Y para demostrarlo, vamos a verlo con un ejemplo absurdo e imposible, para el cual voy a tener que hacer uso de mi máquina del tiempo. Así que, ya que la cosa va de romanos, nos vamos al año 216 antes de Cristo, en medio de la segunda guerra púnica, y planeamos un estudio para ver quiénes son más listos, los romanos o los cartagineses.

Para ello seleccionamos una muestra de 251 romanos y de 249 cartagineses que pillamos despistados en la batalla de Cannas y les pasamos un test de inteligencia para ver qué proporción tiene un cociente de inteligencia mayor de 120, lo que vamos a considerar como ser bastante listo.

Los resultados podéis verlos en la tabla que os adjunto. Podemos ver que el 25% de los romanos (63 de 251) y el 16% de los cartagineses (40 de 249) pueden ser calificados como listos. A primera vista uno pensaría que los romanos eran más listos pero claro, siempre hay posibilidad de que esta diferencia sea debida al azar por error de muestreo.

Así que planteamos nuestra hipótesis nula de que todos son igual de listos, elegimos un estadístico cuya distribución de probabilidad bajo la hipótesis nula sea conocida, calculamos cuánto vale y calculamos su valor de p. Si es menor de 0,05 rechazaremos la hipótesis nula y concluiremos que los romanos eran más listos. Si es mayor, no podremos rechazar la hipótesis nula, así que concluiremos que todos eran igual de listos y que la diferencia observada se debe al azar.

Comparación de proporciones

El primer estadístico que se me ocurre es la ji-cuadrado. Como ya sabemos, ésta valora la diferencia entre valores observados y esperados y calcula un valor que sigue una distribución conocida (chi-cuadrado), por lo que podemos calcular su valor de p.

De esta forma, construimos la tabla de valores observados y esperados y obtenemos un valor de chi-cuadrado igual a 6,35. Ahora podemos calcular el valor de p utilizando, por ejemplo, una de las calculadoras de probabilidad disponibles en Internet, obteniendo un valor de p = 0,01. Como es menor de 0,05 rechazamos la hipótesis nula y concluimos que los romanos eran, en efecto, más listos que los cartagineses, lo que explicaría que ganasen las tres guerras púnicas, aunque la segunda se les atragantase un poco.

Otra forma de hacerlo

Pero hemos dicho que todos los caminos llevan a Roma. Y otra forma de llegar a la p sería comparar las dos proporciones y ver si su diferencia es estadísticamente significativa. Una vez más, nuestra hipótesis nula dice que no hay diferencias entre las dos, así que la resta de las dos proporciones, si la hipótesis nula es cierta, debería valer cero.

De esta manera, lo que tenemos que hacer es calcular la diferencia de proporciones y estandarizarla dividiéndola por su error estándar, obteniendo así un valor z que seguirá una distribución de probabilidad normal.

La fórmula es la siguiente

Con ésta obtenemos un valor de z = 2,51. Si volvemos a utilizar otra calculadora de probabilidad para calcular lo que queda fuera de la media ± z (el contraste es bilateral), veremos que el valor de p = 0,01. Efectivamente, el mismo valor de p que obtuvimos con la chi-cuadrado.

Pero esto no debería extrañarnos. Al fin y al cabo, la p no es más que la probabilidad que tenemos de equivocarnos si rechazamos la hipótesis nula (error de tipo I). Y como la hipótesis nula es la misma usemos chi-cuadrado o z, la probabilidad de error de tipo I debe ser la misma en los dos casos.

Pero es que, además, hay otra curiosidad. El valor de la chi-cuadrado (6,35) es exactamente el cuadrado del valor que obtuvimos para z (2,51). Pero esto tampoco debería extrañarnos si sabemos que las distribuciones de la chi-cuadrado y la normal están relacionadas.: si elevamos al cuadrado todos los valores de una distribución de frecuencias normal y volvemos a representar los resultados obtendremos una distribución de frecuencias de la chi-cuadrado. Curioso, ¿verdad?.

También podríamos realizar una prueba exacta de Fisher en lugar de una chi-cuadrado y obtendríamos unos resultados similares.

Nos vamos…

Y con esto vamos a dejar a romanos y cartagineses en paz. Solo deciros que todavía hay más caminos para demostrar si la diferencia de proporciones es significativa o no. Podríamos haber calculado el intervalo de confianza de la diferencia o el del cociente de proporciones (el riesgo relativo) o, incluso, el de la odds ratio entre las dos proporciones y ver si los intervalos incluían el valor nulo para determinar si eran estadísticamente significativos. Pero esa es otra historia…