Combinatoria y probabilidad.
Se plantea un ejemplo del uso de la combinatoria para obtener los eventos posibles y totales para calcular la probabilidad de un evento.
Es una cosa curiosa, pero hay un problema de probabilidad con el que últimamente me topo cada dos por tres. Me lo encuentro leyendo, haciendo mis cursos y estudiando mis libros. Así que, por qué no, voy a compartirlo con vosotros, aunque es algo difícil de comprender y quizás muchos ya lo conoceréis.
Se trata del problema del cumpleaños y es una especie de acertijo que se usa para demostrar que nuestra intuición puede engañarnos en muchas ocasiones cuando manejamos conceptos de probabilidad, sobre todo si en el asunto hay grandes números de por medio.
Supongamos que vamos un día al cine. Ya nos llama la atención la poca gente que hay, así que nos tememos lo peor. Por desgracia, nuestros temores se ven confirmados y la película es un verdadero rollo, así que nuestra mente empieza a divagar, comenzando por contar cuánta gente hay en la sala. Vemos que estamos solo 35 personas y entonces nos hacemos la pregunta del millón: ¿cuál será la probabilidad de que al menos dos de estas 35 personas cumplan años el mismo día?.
¿Qué os parece?. A simple vista parece bastante difícil de calcular pero, ¿pensáis que la probabilidad es alta o baja?. Nuestra intuición nos dice que la probabilidad no debe ser muy alta, ya que solo hay 35 personas para repartir en coincidencias entre nada menos que 365 días que tiene un año (nos olvidamos de los bisiestos). Sin embargo, como dice el título de esta entrada, la intuición puede a veces engañarnos. Vamos a calcular cuál es la probabilidad real de que haya al menos dos personas en la sala a las que les coincida su cumpleaños.
Para calcular la probabilidad de un suceso debemos dividir el número de sucesos favorables entre el número de sucesos posibles. Por ejemplo, para calcular la probabilidad de sacar un seis en una tirada de un dado dividimos uno (el número de jugadas que nos interesa, el seis) entre seis (el número posible de resultados que podemos obtener al tirar un dado, del uno al seis). Pues bien, en este caso vamos a hacer lo mismo. En el numerador tendremos que poner el número de combinaciones existentes de que haya al menos una coincidencia y en el denominador el número de combinaciones que pueden hacerse de 35 cumpleaños con los 365 días del año.
El primer problema lo encontramos en el numerador. El número posible de coincidencias incluye una coincidencia, dos, tres…., multitud de ellas. Esto puede ser terriblemente complejo de calcular, así que vamos a recurrir a un pequeño truco muy utilizado en probabilidad.
Si lo pensáis, pueden darse dos situaciones: que haya al menos una coincidencia o que no haya ninguna. Por tanto, la probabilidad de los dos sucesos es igual a uno (100%). Así que ¿por qué no calculamos la probabilidad de que nunca haya coincidencias y le restamos a uno el resultado que nos dé?
P(al menos una coincidencia) = 1 – P(ninguna coincidencia)
Vamos a construir nuestra fracción para calcular la probabilidad que estamos buscando y, al final, calcularemos su valor complementario.
Aparecen los factoriales y la combinatoria
Empecemos por el denominador, que es más sencillo. ¿De cuántas formas podemos combinar 35 cumpleaños con 365 días?. Se trata de calcular el número de permutaciones posibles permitiendo el reemplazamiento, porque consideramos la posibilidad de que haya coincidencias de dos personas el mismo día. Así que sería 365x365x…x365 35 veces o, lo que es lo mismo, 36535.
Vamos con el numerador. ¿De cuántas formas distintas podemos distribuir 365 días entre 35 personas sin que haya coincidencias?. En este caso, se trata de combinaciones múltiples sin reemplazamiento, de forma que podemos calcularlo como el factorial de 365 (ya sabéis, 365x364x363x…x2x1) dividido por el factorial de la diferencia entre los días del año y el número de personas, 330.
Ya tenemos construida nuestra fórmula para el cálculo de probabilidad:
Ya solo nos queda resolverla. No intentéis hacerlo con vuestra calculadora de bolsillo, porque puede que explote. Yo he utilizado el programa R e, incluso, he tenido que hacer un poco de álgebra primero para simplificar los factoriales. El resultado es 0,18.
Pues bien, ya sabemos que la probabilidad de que no haya coincidencias entre los cumpleaños de las personas de la sala es de 0,18. Si le restamos a uno ese valor obtenemos 0,82. Esto quiere decir que hay un 82% de probabilidad de que al menos dos personas cumplan los años el mismo día. Impresionante cómo puede engañarnos nuestra intuición. Si no lo creéis, id un día al cine y haced la prueba.
Nos vamos…
Y creo que es el momento de dejarlo por hoy. Podríamos haber profundizado y detallado más cómo calcular el numerador y el denominador de nuestra fórmula de probabilidad, explicando los conceptos de combinatoria. Para aquellos que no lo sepáis, la combinatoria es un conjunto de herramientas matemáticas que sirve, entre otras cosas, para contar elementos. Pero esa es otra historia…