Contraste bilateral vs unilateral.

Podemos optar entre un contraste bilateral vs unilateral. La diferencia es que, en el segundo caso, asumimos la dirección de la diferencia de efecto.

Que me perdonen mis amigos que están al otro lado del Atlántico, pero no me refiero al tipo de colas que muchas mentes perversas están pensando. Lejos de eso, hoy vamos a hablar de unas colas mucho más aburridas pero que son muy importantes siempre que queramos realizar un contraste de hipótesis. Y, como suele ser habitual, lo vamos a ilustrar con un ejemplo para ver si lo entendemos mejor.

Supongamos que tomamos una moneda y, armados de una paciencia infinita, la tiramos al aire 1000 veces, obteniendo cara 560 veces. Todos sabemos que la probabilidad de sacar cara es de 0,5, así que si tiramos la moneda 1000 veces el número medio esperado de caras será de 500. Pero nosotros hemos sacado 560, así que podemos plantearnos dos posibilidades que se nos ocurren de forma inmediata.

Primera, la moneda es legal y hemos sacado 60 caras de más por puro azar. Esta será nuestra hipótesis nula, que dice que la probabilidad de sacar cara [P(cara)] es igual a 0,5. Segunda, nuestra moneda no es legal y está cargada para sacar más caras. Será nuestra hipótesis alternativa (Ha), que dice que P(cara) > 0,5.

Pues bien, vamos a hacer el contraste de hipótesis sirviéndonos de una calculadora de probabilidad binomial de las que hay disponibles en Internet. Si asumimos la hipótesis nula de que la moneda es legal, la probabilidad de que obtengamos 560 caras o más es de 0,008%. Dado que es menor de 5%, rechazamos nuestra hipótesis nula: la moneda está trucada.

Contraste bilateral vs unilateral

Ahora, si os fijáis, la Ha tiene una direccionalidad hacia P(cara) > 0,5, pero podríamos haber planteado la hipótesis como que la moneda no fuese legal, sin presuponer ni que está cargada a favor de las caras ni de las cruces: P(cara) distinto de 0,5. En este caso calcularíamos la probabilidad de que el número de caras estuviese 60 por encima o por debajo de los 500, en las dos direcciones. La probabilidad que obtendríamos es de 0,016, rechazando nuestra hipótesis nula y concluyendo que la moneda no es legal.

El problema es que la prueba no nos dice si está cargada en uno u otro sentido, pero por los resultados suponemos que es en sentido hacia las caras. En el primer caso hemos hecho una prueba con una cola, mientras que en el segundo lo hemos hecho con dos colas.

En el gráfico podéis ver el área de probabilidades de cada una de las dos pruebas. En una cola el área pequeña de la derecha es la probabilidad de que la diferencia respecto al valor esperado se deba al azar. Con dos colas, esta área es doble y situada a ambos lados de la distribución. Veis que la p con dos colas vale el doble que con una cola.

En nuestro ejemplo el valor de p es tan bajo que en cualquier caso nos permite rechazar la hipótesis nula. Pero esto no siempre es así, y puede haber ocasiones en que el investigador elija hacer la prueba con una cola porque con dos no consiga la significación estadística que le da la prueba con una de las colas.

Y digo una de las colas porque en el ejemplo de una cola hemos calculado la de la derecha, pero también podemos calcular el valor de la probabilidad de la cola de la izquierda. Pensemos en el improbable caso de que la moneda esté cargada en el sentido de sacar más cruces pero que, por azar, nosotros hemos sacado más caras. Nuestra Ha diría que P(cara) < 0,5. En este caso calcularíamos la probabilidad de que, asumiendo que es legal, la moneda nos de 560 caras o menos. El valor de p es de 99,9%, luego no podemos rechazar nuestra hipótesis nula de que la moneda es legal.

¿Mejor con una o con dos colas?

¿Pero qué pasa aquí?, preguntaréis. El primer contraste de hipótesis que planteamos decía que podíamos rechazar la hipótesis nula y este dice lo contrario. Si es la misma moneda y los mismos datos, ¿no deberíamos llegar a la misma conclusión?. Pues resulta que no. Recordad que no poder rechazar la hipótesis nula no es lo mismo que concluir que es cierta, cosa que nunca podremos asegurar. En este último ejemplo, la hipótesis nula de legalidad de la moneda es mejor opción que la alternativa de que está cargada para dar más cruces. Sin embargo, eso no quiere decir que podamos concluir que la moneda es legal.

Nos vamos…

Veis pues, cómo hay que tener muy claro el significado de las hipótesis nula y alternativa cuando plateemos un contraste de hipótesis. Y recordad siempre que aunque no podamos rechazar la hipótesis nula eso no quiere obligadamente decir que sea cierta. Simplemente no tenemos potencia suficiente para rechazarla. Lo cual me lleva a pensar en los errores de tipo I y tipo II y su relación con la potencia del estudio y el tamaño de la muestra. Pero esa es otra historia…